数学の資料、発表原稿　など

---

2023年度


• 「4 頂点が格子点である平行四辺形に含まれる格子点の個数について」(pdf file)
  4頂点が格子点である平行四辺形OABCの内部、及び2辺OA,OB上のA,B以外の格子点の個数は、平行四辺形の面積に等しいことについて
  
• 「フェルマーの 2 平方数定理の Zagier による証明について」(pdf file)
  D. Zagier ”A One-Sentence Proof That Every Prime p ≡ 1( mod 4) Is a Sum of Two Squares” について、風車型ブロックの対応を考えてみた。
  
• 「数列のある問題に対する２つの解法について ～ 第二種チェビシェフ多項式を用いた解法と 1 次分数変換による解法 ～(pdf file)
  京進の数学コンテストの問題に対して、高校 3 年生の松野伊織君は、問題を一般化して考えた。そして、第二種チェビシェフ多項式に結びつけて解決した。その解法を整理していた際、一次分数変換による解法を思いついたので、書き加えた。
  
• 「1+1/2+1/3+ ... + 1/n+ ... =∞について(pdf file)
  スーパーコンピュータ富岳で、調和級数を100億年間計算したら、どれくらいの大きさになるかについて。
• 「楕円の準円について(pdf file)
  理系高校2年生の考査に関連して配布した資料。
• 「2023年京都大学理系入試第6問　ド・モアブルの定理による解法について(pdf file)
  (2)を解くには、cos(nΘ)がcos(Θ)の整数係数のn次多項式となり、特にcos(Θ)のn次の係数が2^(n-1) であることがポイントとなる。cos(Θ)の加法定理により帰納的に示すのが普通の方法かと思うが、ド・モアブルの定理を用いた方法もある。
• 「楕円の準円について(pdf file)
  理系高校2年生の考査に関連して配布した資料。
• 「ガウスの数論世界をゆく」p.106の計算について(pdf file)
  この本に記載の変形について、自分ではわかりにくかったところを、自分なりに式変形を考えてみた。

  ---

  2022年度
  
• 「べき乗和 1^m + 2^m+ ... + n^m の公式について ver.2」(pdf file)
  べき乗和の公式については、2014年と2017年にレポートをまとめておいた。今回、高校生にもわかりやすいように書き方を見直した。そうしているうち、係数に関する性質について、以前気づいていなかったものに気づいて、割と簡単に証明できたので記載した。
• 「x^2 + xy + y^2 （x, y は自然数）で表される素数ついて」(pdf file)
  この2次式で作られる数のうち素数は、3を除いてすべて6n+1型である。逆に、6n+1型のすべての素数は、この2次式で表すことができる。
  
  
• 「D.J.Newmanのアイディアに基づいた素数定理の簡明な証明について」(pdf file)
  D.J.Newmanが用いた方法によると、留数定理程度までの数学で素数定理の証明が得られる。それについて調べてみた。
  
  
• 「x^2 + y^2 = p（pは素数）について」(pdf file)
  フェルマーの2平方数定理について
  
  

  ---

  2021年度
  
• 「x^2 + y^2 = z^2, x^4 + y^4 = z^4 を満たす自然数 x, y, z について」（pdf file）
  　数学ゼミという授業で、無限降下法を用いた大学入試問題の解法を扱うことがあった。無限降下法と言えば、x^4+y^4=z^4 に関するフェルマーの証明だと思ったので、順に問題を解いていけば、高校生がフェルマーの証明をなぞることができるようにとプリント作成してみた。
• 「ユークリッドの互除法について」（pdf file）
  ユークリッドの互除法と一次不定方程式の特殊解の求め方については、以前（8年ほど前）、素早く計算できる方法を思いついて、人に知らせていた。当時、自分がそれを授業で高校生に教える機会はなかった。また、何人かの数学の先生に伝えてみたものの、マスターしてもらうのが楽ではなかった。 今年度、授業で高校生に教えることになり、もう少しわかってもらいやすい方法をと思って、考えたものである。普通の互除法を実施した後、その横に、全く同じことを文字a,bで書き直すとできる。前の方法より時間は余計にかかるが、何をしているかはわかりやすいと思う。
• 「パスカルの三角形に現れる数の偶奇について（シェルピンスキーのガスケット）」（pdf file）
  パスカルの三角形に現れる数について、偶数なのか奇数なのか考えてみると、大変きれいな形になることに気づいた。それは、シェルピンスキーのガスケットと呼ばれる形であることを知った。
  
  
• 「ネイピア数eの連分数展開について」（pdf file）
  ネイピア数eはきれいな連分数展開を持つが、どうやってそれを証明するか、これまで知らなかった。今回調べてみたら、2006年、2016年にわかりやすい証明が発表されていることを知ったので、まとめておいた。
  
  
• 「連分数について」（pdf file）・・・　2021年夏休み用読み物
  √ｎの連分数展開について。
  
  
• 「1^1+2^2+3^3+ ... + n^n を素数p で割った余りについて」（pdf file）
  1からp(p-1)までの和を考えるとよい。
  
  
• 「空間におけるチェバの定理の類似について」（pdf file）
  2021 年前期大学入試の大阪大学理系　第 ２ 問を幾何でどう解くのかという質問を受けて考えている内に気づいたもの。有名な定理だろうと思うが、これまで知らなかったし、周囲に知っている人がいなかった。きれいな式が成り立つ。
  
  
• 「ディオファントス近似と大学入試問題について」（pdf file）
  2011 年前期大学入試の大阪大学理系　第 4 問　などとディオファントス近似と関わりを少し考えたもの。
  
  

  ---

  2020年度
  
• 「東京工業大学　2009年度ＡＯ入試数学第3問」（pdf file）
  第1象限で y=nx と y=x^n+1/2 x^(n-1)+1/3 x^(n-2) + ... + 1/n x + 1/(n+1) で囲まれた部分の面積の極限を考える問題
  
  
• 「判別式Dが平方数である２次形式 f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2について」（pdf file）
  Zagier 著　片山孝次　訳　「数論入門―ゼータ関数と2次体」の演習問題に関してまとめたもの。このレポートにたどり着くまでずいぶん時間がかかった。
  
  
• 「曲線の長さのある対応について」（pdf file）
  2018年山梨大学・医学部の入試問題に関連したもの。
  
• 「ζ(2)=π^2 / 6 について」（pdf file）
  2020年慶応大学・医学部の入試問題にバーゼル問題に関連した出題があった。それに関連して補充したもの。
  
  
• ある種の合同式の作問について
  
  
• 一次不定方程式の自然数解について(pdf file）
  1.　m>abならばax+by=mを満たす自然数x,yが存在する。
  　なお、x,y>=0とすればm>=abについて整数解が存在する。
  2.　ax+by=mを満たす自然数x,yの組がちょうどk+1個となるときのmの最小値はkab+a+b、最大値は(k+2)abである。
  3.　x,>=0のとき、ax+byとして表すことができない自然数の個数は 1/2 * (a-1)(b-1)である。
  
  
• アーベル群の基底定理(pdf file）
  2通りの証明をメモしておいた。
  
  
• 有限体F_pの乗法群が巡回群になることについて(pdf file）
  言い換えると、pを法とする原始根が存在すること。
  「体Kの有限乗法部分群は巡回群になる」ということを幾通りかの方法で示す。
  ・p-1の素因数分解から位数p-1の元が存在することを示す方法　その1，その2
  ・位数dの元がφ(d)個あることを示す方法
  ・有限生成乗法群のアーベルの基底定理を用いる方法
  
  
• 一次不定方程式の整数解の求め方について
  「合同式では、どのように解くのですか？」と質問を受けた。合同式を使う方法では、小さい方の係数のmodで考えて、後は順に値を代入するくらいで、あまり効率よく求めることはできないだろうと思っていた。 　生徒のやり方を見て、はじめは変形の根拠がわからなかったが、その後、結構簡便に求めることがわかった。
  ・一次不定方程式の整数解を合同式で簡便に求める方法(pdf file）
  
  上記について、何人かの知り合いに知らせたら、合同式ではないけど、一次不定方程式の式変形で計算していく方法を知らせてくださった先生があった。その方法を眺めていたら、互除法とタイアップした簡便な書き方ができることに気づいた。
  さらに、2つの整数係数の整式 a(x),b(x)の最大公約数を互除法で求め、それにタイアップして a(x)f(x)+b(x)g(x)=d(x) を満たす整式f(x),g(x)を簡便に求める計算とできることもわかった。
  ・一次不定方程式の整数解の或る計算方法
  
  なお、簡便かつ速い計算方法は、2013年の以下のレポートにある。
  ・一次不定方程式ax+by=dの特殊解の素早い計算方法　(pdf file）
  
  
• ガウス周期に関するノート　その1(pdf file）
  　栗原将人著「ガウスの数論世界をいく」（数学書房）の正17角形の作図、ガウスの2次周期、平方剰余の相互法則について学習したノート。昨年のノートより少し理解が進んだと思う。
  
• ガウス周期に関するノート　その2(pdf file）
  4次ガウス周期についてのノート。[1]_4 [g^2]_4 の計算について、見通しよくしたつもりである。また、a^2+b^2=p の整数解を考えるところで、環準同型の核に結びつける解釈をしてみた。
  

  ---

  2019年度
  
• コラッツ列に関するいくつかの性質(pdf file）
  　2以上の整数Nから始めて、偶数なら2で割る。奇数なら3倍して1を加える。そうしてできる数列をコラッツ列という。
  　コラッツ列に関するいくつかの性質について考えてみた。
  　※　豊本克巳先生に読んでいただき、少し修正して10月28日版とした。
  　　　さらに最後の奇数の表に見落としがあり、修正して11月8日版とした。
• ２次ガウス周期の基本定理に関するノート(pdf file）
  　２次ガウス周期の基本定理に関するノート
  
  
• 正17角形の作図とガウス周期について(pdf file）
  　正17角形の作図、ガウス周期に関するガウスの積公式
  

  ---

  2018年度
  
• 常用対数 log[10] 2 =0.3010 を筆算で計算する方法について(pdf file）
  　5月21日の午後に、若い先生からメールで質問があった。これまで、突き詰めたことはなかったが、きっと、２のべき乗と１０のべき乗の比較で求めるのではと思っていた。2^10 = 1024 が 10^3=1000に近いから、log[10] 2 が0.3に近い、0.3よりちょっと大きいとわかるが、0.3010に近いと言うにはどうするか?
  　エクセルで２のべき乗を100乗まで並べても、いい感じの解答が思い浮かばない。 　そこで、別の方法を考えてみた。東京への出張の列車の中である程度計算できた。出張先から若い先生に送っておいたが、計算ミスの修正等について帰宅後多少修正してまとめたものである。
  
  
• ガウス整数 -7+11i と 11+12i の最大公約数(pdf file）
  　ガウス整数でもユークリッドの互除法が使える。その練習問題。
  　さらに、ガウス整数でも、最大公約数を ax+by=d　と表すことについて。
  
  

  ---

  2017年度
  
• 差分による数列の和の計算の工夫(pdf file）
  　・典型的な例は、部分数展開。
  　・1^2+2^2+ ... + n^2 や1^3+2^3+ ... +n^3　の公式が短い計算で求められる。
  
  
• ある置換積分　その１(pdf file）
  　　1/\sqrt{a^2+x^2} の積分
  
  
• ある置換積分　その２(pdf file）
  　　\sqrt{a^2-x^2}/x の積分
  
  
  

工芸作品「x^5=1による器」

---

2016年度
・工芸作品「フラーレンの断片による器」

Ａ４用紙で正四、八、二十面体とサッカーボール(pdf file）



平成27年度　第2回きときと数学研修　その後の試行錯誤